¿Qué es la División Sintética?

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La División Sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio P(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} +...+ a₁x + a₀ de grado n, esto es a_n  0, entre un polinomio lineal x - c. El procedimiento para realizar esta división es muy simple, primero se toman todos los coeficientes del polinomio P(x) y la constante c, con estos se construye una especie de ''casita'' que ayudará en el proceso 

                                                            

Lo primero es ''bajar'' el coeficiente a_n, a este coeficiente también lo denotamos por b_{n - 1}, luego se multiplica por la constante c, el resultado se coloca en la segunda columna y se suma al siguiente coeficientea_{n - 1}, al resultado lo denotamos b_{n - 2} 

                                                        

Este último resultado se multiplica nuevamente por c y se le suma al coeficiente a_{n - 2} y el proceso se repite hasta llegar a a₀. Los resultados parciales que se obtienen se denotan por b_{n - 1},  b_{n - 2},   ^... ,  b₁,  b₀(se inicia con b_{n - 1} pues el cociente tiene un grado menos que el dividendo), y el último valor obtenido se denota por r, pues es el residuo de la división, de esta manera lo que se obtiene es 

                                             

Así, el cociente de la división de P(x) por x - c es b_{n - 1}x^{n - 1} + b_{n - 2}x^{n - 2} + ^... + b₁x¹ + b₀ con un residuo r, en donde los coeficientes se detallan como 

b_{n - 1} = a_n

b_{n - 2} = cb_{n - 1} + a_{n - 1}

b_{n - 3} = cb_{n - 2} + a_{n - 2}

b₁ = cb₂ + a₂

b₀ = cb₁ + a₁

r = cb₀ + a₀

EJEMPLO 1 (División Sintética)
Realice la división de P(x) = 3x⁴ + 2x³ - x² + 4x + 2 entre x + 2.

Solución 

Al realizar el algoritmo de la división sintética con los coeficientes de P(x) y -2 como valor de c.

                                                                 

Así, el cociente de la división de P(x) entre x + 2 es 3x³ - 4x² + 7x - 10 y se obtiene un residuo r = 22.

1.2.3.  Desigualdades Lineales, Cuadráticas y de Valor Absoluto.

Desigualdades Lineales

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

Los signos de desigualdad son. Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver las siguientes desigualdades:
Ejemplo 1)     Resolver: 3 > x - 8.
Sumando la misma cantidad a ambos lados:

3 > x - 8

3 + 8 > x - 8 + 8

11 > x

x < 11

El conjunto solución es: (-∞, 11).

Ejemplo 2)    Resolver: 2x-5 < 7

Solución:

2x-5 < 7                desigualdad original

2x-5+5 < 7+5        sumar 5 a ambos miembros

       2x < 12           simplificar

 ½ (2x) < ½ (12)   multiplicar a ambos miembros por ½

         x < 6             simplificar

El conjunto solución es: (-∞, 6).

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.
Ejemplo 3)

Ejemplo 4) Resolver: -3 ≤ 2-5x ≤ 12

Solución:

-3 ≤  2-5x ≤ 12                                           Desigualdad original

-3-2 ≤ 2-5x-2 ≤ 12-2                                  restar 2

   -5 ≤ -5x ≤ 10                                           Simplificar

 - (1/5) (-5) ≥ - (1/5) (-5x) ≥ - (1/5) (10)    Multiplicar a ambos miembros por –(1/5) e invertir ambas                                                                                                                                       .                                                                  desigualdades.

         1 ≥ x ≥ -2                                           Simplificar

El conjunto solución es [-2,1].

Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones (Valor Absoluto)

Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa.
Ejemplo 5) Resolver | 10x - 2| 9

·         10x - 2 -9
10x -9 +2
10x -7
10x/10 -7/10
x -7/10

·         10x - 2 9
10x 9 + 2
10x 11
10x/10 11/10
x 11/10

Ejemplo 6) Resolver: | x-3 | ≤ 2

Solución: usando la segunda propiedad de las desigualdades y los valores absolutos , puede describirse la desigualdad original como la desigualdad doble.

-2 ≤  x - 3  ≤ 2                       Escribir como desigualdad doble

-2 + 3 ≤  x - 3 + 3 ≤ 2 + 3     Sumar 3

            1 ≤  x  ≤ 5                 Simplificar

El  conjunto solución de la desigualdad original es [1,5].

Desigualdades Cuadráticas

Ejemplo 7) Resolver:  x² < x+6

Solución:

x² < x + 6                                       Desigualdad original

x² - x - 6 < 0                                   Escribir en forma usual

(x – 3)(x + 2) < 0                            Factorizar

El polinomio  x² - x - 6 tiene los ceros x = -2 y x = 3, por tanto tiene los intervalos prueba (-∞,-2),(-2,3) y (3,∞).

La solución de la desigualdad original es (-2, 3).